Пусть точка О – центр окружности. Т.к. треугольник АВС равнобедренный и основание АС = 80, то АО = CO = 40. Из равенства радиусов касания медианы и окружности следует, что точка О делит медиану АО пополам. Значит, АО’ = О’M = 20, где М – середина стороны ВС. В треугольнике АВС проведем высоту ВН из вершины В к основанию АС. Обозначим точку касания окружности с высотой как К. Т.к. К лежит на медиане АО’, О’К также делит АО’ пополам. Значит, О’К = 10. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике О’БК (т.к. О’В – медиана, то О’В = 1/2 ВС), где О’Б = 41, О’К = 10, О’В = 1/2 ВС, имеем:
О’В^2 = О’Б^2 – О’К^2
(1/2 ВС)^2 = 41^2 – 10^2
1/4 ВС^2 = 1681 – 100
ВС^2 = 4(1681 – 100)
ВС^2 = 6324
ВС = √6324 = 78.62
Искомая площадь треугольника АВС равна:
S = (1/2) * ВС * АС
S = (1/2) * 78.62 * 80
S = 3144.8.
Ответ: площадь треугольника АВС равна 3144.8.