Треугольники АВС и ВСК расположены так, что точка С лежит на отрезке АК, а углы АВС и КВС равны. Найдите длины высот CF и СН треугольников соответственно АВС и ВСК, если сумма длин этих высот равна 40 см.

Пусть CF = x – длина высоты треугольника АВС, а CH = y – длина высоты треугольника ВСК.
Так как треугольники АВС и ВСК имеют равные углы, значит, они подобны.
Отношение длин подобных сторон треугольников равно отношению длин соответствующих высот.

Из данного условия следует, что:
x/y = АВ/ВС = (АК-AС)/(АК) = 1 – (AC/AK).

Также по условию x + y = 40.

Нам известно, что AC/AK = СВ/СК.
Но также из подобия треугольников получаем, что:
AC/AB = CK/BS,
AC/AB = CK/CS + CS/BS = CK/CS + 1.

Так как углы АВС и КВС равны, то получаем уравнение:
x/y = 1 – (AC/AK) = 1 – (AC/AB)*(AB/BS) = 1 – (CK/CS + 1)*(CS/BS) = 1 – (CK + CS)/BS.

Из двух последних уравнений получаем:
1 – (CK + CS)/BS = 1 – (CK/CS + 1),
CK = CS.

Таким образом, получаем, что CK = CS.
Из уравнения x/y = 1 – (CK + CS)/BS следует, что x = y.

Теперь можем записать систему уравнений:
x + y = 40,
x = y.

Решив эту систему, найдем значения x и y, то есть длины высот CF и CH.