Чтобы найти скалярное произведение векторов, нужно умножить соответствующие координаты этих векторов и сложить полученные произведения. То есть, чтобы найти скалярное произведение для векторов м=3а-4в и н=2а+5в, нужно умножить координаты вектора м на координаты соответствующие вектора н и сложить полученные произведения.
Сначала найдем векторы а и б. По условию |а|=2√3 и |в|=3. А это значит, что у вектора а длина равна 2√3, а у вектора б длина равна 3.
Теперь найдем скалярное произведение сначала между векторами а и б.
cos(30°) = (а · б) / (|а| × |б|)
cos(30°) = (а · б) / (2√3 × 3)
cos(30°) = (а · б) / (6√3)
cos(30°) = (а · б) / (6√3) = 1/2
Зная, что cos(30°) = 1/2, можем подставить это в уравнение:
1/2 = (а · б) / (6√3)
(а · б) = 6√3 * 1/2
(а · б) = 3√3
Теперь найдем скалярное произведение между векторами м и н.
(м · н) = (3а – 4в) · (2а + 5в)
(м · н) = 3а · 2а + 3а · 5в – 4в · 2а – 4в · 5в
(м · н) = 6а^2 + 15а · в – 8в · а – 20в^2
(м · н) = 6а^2 + 15а · в – 8в · а – 20в^2
(м · н) = 6(2√3)^2 + 15(3√3) – 8(2√3) – 20(3)
(м · н) = 6 * 12 + 15 * 3√3 – 8 * 2√3 – 20 * 3
(м · н) = 72 + 45√3 – 16√3 – 60
(м · н) = 12 – √3
Таким образом, скалярное произведение векторов м и н равно 12 – √3.