Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством серединного перпендикуляра и свойствами треугольников.
1. Пусть M – середина отрезка АР.
2. Рассмотрим треугольники АМО и РМО. Мы знаем, что АО=ОР, АМ=МР (так как M – середина отрезка АР).
3. По свойству серединного перпендикуляра мы знаем, что ОМ перпендикулярен к АР.
4. Значит, треугольники АМО и РМО являются прямоугольными треугольниками.
5. Так как у этих треугольников АО=ОР и АМ=МР, а гипотенуза одинаковая, то по свойству равнобедренных треугольников у них равны и другие стороны.
6. Значит, АМ=МР=ОМ, что означает, что точка М равноудалена от концов отрезка АР.
7. Таким образом, мы доказали, что каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от его концов.
Таким образом, мы доказали утверждение задачи.