У нас есть треугольник ABC, где ∠B = 135°, внешний угол при вершине A равен 150°, и BC = 10.
Сначала найдем ∠A, используя свойство внешнего угла треугольника: ∠A = 180° – ∠B = 180° – 135° = 45°.
Далее, вспоминаем, что сумма углов треугольника равна 180°: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Зная, что ∠A = 45° и ∠B = 135°, можем найти ∠C: 45° + 135° + ∠C = 180°. Решаем уравнение: ∠C = 180° – 45° – 135° = 0°.
Таким образом, треугольник ABC является вырожденным, то есть C совпадает с A.
Теперь применяем теорему косинусов в треугольнике ABC, чтобы найти сторону AC: AC² = AB² + BC² – 2 * AB * BC * cos(∠B). Подставляем известные значения: AC² = AB² + 10² – 2 * AB * 10 * cos(135°).
Так как треугольник ABC вырожденный, то AB = AC, поэтому мы можем записать уравнение как: AC² = AC² + 100 – 20 * AC * cos(135°).
Для упрощения решения заметим, что cos(135°) = -√2 / 2.
Подставляем этот результат в уравнение: AC² = AC² + 100 – 20 * AC * (-√2 / 2).
Упрощаем выражение: AC² = AC² + 100 + 10√2 * AC.
Вычитаем AC² из обеих частей: 0 = 100 + 10√2 * AC.
Переносим AC-термин в левую часть: -10√2 * AC = 100.
Делим обе части на -10√2: AC = 100 / (-10√2) = -10 / √2.
Умножаем числитель и знаменатель на √2 для рационализации знаменателя: AC = -10√2 / 2 = -5√2.
Но сторона треугольника не может быть отрицательной, поэтому берем значение по модулю: AC = 5√2.
Но нам нужно найти AC², поэтому возводим 5√2 в квадрат: (5√2)² = 5² * (√2)² = 25 * 2 = 50.
Таким образом, сторона AC² равна 50. Ответ: 50.