Обозначим стороны параллелепипеда, параллельные основанию цилиндра, через a и b, а высоту – через h.
Так как параллелепипед вписан в цилиндр, его диагональ (главная диагональ параллелепипеда) равна диаметру цилиндра, то есть 2k.
Первое уравнение, которое можно составить, связывает диагональ параллелепипеда с его основанием:
а*h = 2k ⇒ h = 2k/a
Далее рассмотрим треугольник, образованный диагоналями основания параллелепипеда. Угол между ними равен 60°, а длины диагоналей обозначим через P и Q.
Мы имеем правильный треугольник с углом 60° и сторонами a и b. Так как у нас нет других данных, предположим, что сторона параллелепипеда a > b.
Таким образом, для прямоугольного треугольника с гипотенузой a и углом 60° мы можем использовать тригонометрию для нахождения длин сторон:
P = a*cos(60°) + b*sin(60°) = a/2 + √3b/2
Q = a*sin(60°) + b*cos(60°) = √3a/2 + b/2
Второе уравнение:
P*Q = a*(a/2 + √3b/2) = ab/2 + √3ab/2 = (2 + √3)ab/2
Таким образом, объем параллелепипеда можно выразить следующим образом:
V = a*b* h = a*b*(2k/a) = 2kb
Осталось найти k, приравняв наше уравнение для объема V к уравнению для Q*Q и заменив P*P вторым уравнением:
a*b*(2k/a) = (2 + √3)ab/2
k = (2 + √3)/4
Теперь мы можем найти объем параллелепипеда:
V = 2kb = 2*(2 + √3)/4*b = (2 + √3)/2*b
Ответ: объем параллелепипеда равен (2 + √3)/2 умножить на площадь одного из оснований.