Для решения задачи введём систему координат в единичном кубе, где вершина A = (0,0,0), вершина B = (1,0,0), вершина C = (1,1,0), вершина D = (0,1,0), вершина E = (0,0,1), вершина F = (1,0,1), вершина G = (1,1,1) и вершина H = (0,1,1).
Прямая ВВ1 параллельна оси y и проходит через точки B и E. Уравнение этой прямой можно записать в виде x = 1, y = t, z = 0, где t — параметр.
Прямая А1С проходит через точки A и C. Уравнение этой прямой можно записать в виде x = s, y = 1, z = 0, где s — параметр.
Найдем точку пересечения этих двух прямых. Подставим выражения для x, y и z из уравнений прямых в уравнение x = s:
1 = s
Таким образом, точка пересечения прямых — это (1, 1, 0).
Вектор В1К, где К — точка пересечения прямых, можно получить путем вычитания координат точек B и К:
В1К = (1, 1, 0) – (1, 0, 0) = (0, 1, 0)
Вектор В1К является направляющим вектором прямой В1К.
Вектор А1В1 можно получить путем вычитания координат точек А и B:
А1В1 = (1, 0, 0) – (0, 0, 0) = (1, 0, 0)
Заметим, что вектор А1В1 является направляющим вектором прямой А1В1.
Угол между двумя прямыми найдем, используя формулу для косинуса угла между векторами:
cos(α) = (В1К * А1В1) / (|В1К| * |А1В1|)
где * обозначает скалярное произведение, |В1К| и |А1В1| — длины векторов В1К и А1В1 соответственно.
Длины векторов:
|В1К| = √(0^2 + 1^2 + 0^2) = √1 = 1
|А1В1| = √(1^2 + 0^2 + 0^2) = √1 = 1
Скалярное произведение векторов:
(В1К * А1В1) = 0 * 1 + 1 * 0 + 0 * 0 = 0
Подставим значения в формулу:
cos(α) = 0 / (1 * 1) = 0
Таким образом, cos(α) = 0. Угол α между прямыми ВВ1 и А1С равен 90 градусов.