Для решения данной задачи нам понадобится использовать геометрические свойства плоскостей и углов.
Шаги решения:
1. Нарисуем куб ABCD₁ с плоскостями ABC и BDD₁.
2. Выразим векторы AB, BC и BD₁.
3. Найдем нормали к плоскостям ABC и BDD₁. Для этого возьмем векторное произведение этих векторов: n₁ = AB x BC и n₂ = BD₁ x BD.
4. Найдем скалярное произведение нормалей плоскостей: n₁ ∙ n₂ = |n₁| ∙ |n₂| ∙ cos(θ), где θ – угол между плоскостями.
5. Найдем длины нормалей: |n₁| = |AB| ∙ |BC| ∙ sin(α) и |n₂| = |BD₁| ∙ |BD| ∙ sin(β), где α и β – углы между векторами AB и BC, и BD₁ и BD соответственно.
6. Подставим найденные значения в формулу из шага 4: n₁ ∙ n₂ = |AB| ∙ |BC| ∙ sin(α) ∙ |BD₁| ∙ |BD| ∙ sin(β) ∙ cos(θ).
7. Разделим обе части равенства на |AB| ∙ |BC| ∙ |BD₁| ∙ |BD| и найдем cos(θ): cos(θ) = (n₁ ∙ n₂) / (|AB| ∙ |BC| ∙ |BD₁| ∙ |BD|).
8. Используя обратную функцию косинуса, найдем угол θ между плоскостями ABC и BDD₁: θ = acos((n₁ ∙ n₂) / (|AB| ∙ |BC| ∙ |BD₁| ∙ |BD|)).
Таким образом, применив указанные шаги, можно найти угол между плоскостями ABC и BDD₁ в кубе A…D₁.