В кубе ABCDA1B1C1D1​ найдите угол между прямой AD1 и плоскостью, проходящей через точки A1, E и F, где E – середина C1D1​, а F лежит на ребре DD1​ так, что D1F=2DF. В ответе укажите квадрат котангенса искомого угла.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки A1, E и F. Поскольку E – середина C1D1​, то вектор E1C1 равен вектору E1D1, и следовательно, плоскость A1EF параллельна плоскости C1D1D.

Также обратим внимание, что вектор DD1 равен 2DF, поэтому вектор DF можно представить как DD1/3. Таким образом, вектор DF делит ребро DD1 на отрезки 1/3 и 2/3.

Так как плоскость A1EF параллельна плоскости C1D1D, то прямая AD1 и плоскость A1EF параллельны друг другу. Значит, искомый угол между ними равен 90 градусов.

Таким образом, квадрат котангенса искомого угла будет равен квадрату котангенса 90 градусов, что равно 1.

Ответ: 1.