Пусть A и B – основания трапеции, а C и D – точки пересечения боковых сторон трапеции с окружностью.
Для начала найдем координаты точек C и D. Поскольку длина дуг равна α и β, то углы, соответствующие дугам, имеют меру α и β.
Высота трапеции является радиусом единичной окружности и равна 1.
Так как у трапеции ак что параллельны, то C и D находятся на том же расстоянии от начала счета углов на окружности, что и середина дуги АВ.
Радиус окружности равен 1. Тогда длина дуги АСB равна α/2 и длина дуги АDB равна β/2.
Так как C и D находятся на расстоянии α/2 и β/2 от начала счета углов на окружности, то координаты точек C и D равны:
С = (cos(α/2), sin(α/2))
D = (cos(β/2), sin(β/2))
Далее найдем длины оснований трапеции. По теореме косинусов, длина оснований равна:
AB = 2 * sin((α+β)/2) * sin((α-β)/2)
BC = 2 * sin(α/2) * sin(α/2)
Используя формулу площади трапеции, получаем:
S = (AB + BC) / 2 * 1
S = (2 * sin((α+β)/2) * sin((α-β)/2) + 2 * sin(α/2) * sin(α/2)) / 2
Таким образом, площадь трапеции равна:
S = sin((α+β)/2) * sin((α-β)/2) + sin(α/2) * sin(α/2)
S = (sin(α/2) * cos(β/2) + cos(α/2) * sin(β/2)) * (sin(α/2) * cos(β/2) – cos(α/2) * sin(β/2)) + sin(α/2) * sin(α/2)
S = sin^2(α/2) * cos^2(β/2) – cos^2(α/2) * sin^2(β/2) + sin^2(α/2)
S = sin^2(α/2) * (cos^2(β/2) + 1 – sin^2(β/2)) + sin^2(α/2)
S = sin^2(α/2) * (1 + cos(β/2)^2) + sin^2(α/2)
S = sin^2(α/2) + sin^2(α/2) * cos(β/2)^2
S = sin^2(α/2) + (1 – cos(α/2)^2) * cos(β/2)^2
S = 1 – cos(α/2)^2 + cos(α/2)^2 * cos(β/2)^2
S = 1 + cos(α/2)^2 * (cos(β/2)^2 – 1)
S = 1 + cos(α/2)^2 * (- sin(β/2)^2)
S = 1 – cos(α/2)^2 * sin(β/2)^2
Таким образом, площадь трапеции равна 1 – cos(α/2)^2 * sin(β/2)^2.
