В окружность вписан остроугольный треугольник , точки 1, 1 , 1 — основания его высот из точек , , Прямые 1 , 1 , 1 пересекают в точках 2 , 2 , 2 соответственно. Прямые 2 1 и 2 1 пересекают вторично в точках и соответственно. Описанная окружность треугольника 1 2 пересекает отрезок 1 в точке ( ≠ 1 ), описанная окружность треугольника 1 2 пересекает отрезок 1 в точке ( ≠ 1 ). Докажите ∥ .

Для доказательства PQ || BC, где P и Q — точки пересечения окружностей, проведем дополнительные линии и воспользуемся свойствами треугольника.

Шаги решения:
1. Обозначим точку пересечения линий AA₁ и BB₁ как O.
2. Ортоцентр треугольника ABC образует прямоугольный треугольник A₁BO, поэтому O лежит на окружности ω.
3. Также, из симметрии треугольника ABC следует, что CC₁ и BB₁ пересекаются в точке O.
4. Построим прямые A₂B₁ и A₂C₁.
5. Так как ABC — остроугольный треугольник, лежит внутри окружности ω, то точки B₁ и C₁ лежат по разные стороны от прямой A₂B₁ и A₂C₁ соответственно.
6. Значит, прямые A₂B₁ и A₂C₁ пересекают окружность ω в двух различных точках.
7. Обозначим точки пересечения окружности ω с прямой A₂B₁ как P и B₂ соответственно. Обозначим точки пересечения окружности ω с прямой A₂C₁ как Q и C₂ соответственно.
8. Так как B₂XB₁P — вписанный четырехугольник, то ∠PXB₁ = ∠B₂PB₁.
9. Аналогично, так как C₂YQС₁ — вписанный четырехугольник, то ∠C₂YQ = ∠C₁QC₂.
10. Поскольку ∠C₁OB = 90° (так как A₁BO прямоугольный), то с учетом того, что сумма углов в точке равна 180°, получаем ∠B₂PB₁ = ∠C₁OC₂.
11. Из пунктов 8 и 10 следует, что ∠PXB₁ = ∠C₂YQ, следовательно, четырехугольник PBYQ — вписанный.
12. Из свойства вписанных углов следует, что ∠PQB = ∠PYB.
13. Поскольку ∠PXB₁ = ∠C₂YQ и ∠PQB = ∠PYB, то треугольники PXB₁ и QYC₂ подобны по двум углам.
14. Таким образом, соответствующие стороны этих треугольников PX и YQ параллельны.
15. Следовательно, PX || YQ, что влечет PQ || BC.

Таким образом, мы доказали, что PQ || BC.