Для решения задачи воспользуемся формулой для объема призмы: V = S * h, где S – площадь основания, h – высота призмы.
Поскольку основание призмы – квадрат ABCD, то его площадь S = a^2, где a – длина стороны квадрата.
Обозначим через x длину ребра наклонной призмы BC. Тогда ребра AD и BC будут равными (поскольку равноудалены от вершины A), а диагонали сечения BB’ и DD’ будут также равными (поскольку основание квадрат и вершина равноудалена от всех вершин основания).
Поскольку диагональ сечения BB’D’D образует прямой угол с ребром BC и ребро BC наклонено к плоскости основания под углом 45°, получаем прямоугольный треугольник BB’D’ с основанием BB’ и гипотенузой BD. Так как площадь треугольника BB’D’ равна 64, то BB’ * BD / 2 = 64, или BB’ * BD = 128.
Заметим, что треугольник ABC является прямоугольным, так как стороны BC и AC образуют прямой угол, а ребро BC наклонено к плоскости основания под углом 45°. Тогда сторона AC будет равна a * sqrt(2).
Так как точка D лежит на стороне AC, то ее координаты будут (a/2, a/2).
Тогда длина ребра BD равна sqrt((a – a/2)^2 + (a – a/2)^2) = sqrt(a^2/2) = a/sqrt(2).
Таким образом, BB’ * a/sqrt(2) = 128, или a = 128 * sqrt(2)/BB’.
Итак, получили, что a = 128 * sqrt(2)/BB’.
Теперь найдем высоту призмы.
Высота призмы — это расстояние между плоскостью основания и плоскостью верхнего основания. Поскольку вершина А равноудалена от всех вершин нижнего основания, а ребра AD и BC равными, то высота призмы будет равна длине ребра AD. Поэтому h = AD = a/2.
Таким образом, V = S * h = a^2 * a/2 = a^3/2.
Подставляем найденное значение a и получаем V = (128 * sqrt(2)/BB’)^3/2.
Ответ: объем призмы V = (128 * sqrt(2)/BB’)^3/2.