В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треуГолЬНИК АВС. Боковое ребро М В перпендикулярно плоскости основания и АС = ВС. На ребре МС взята точка К – середина этого реб-ра. Найдите угол между плоскостями ВАК и АКС, если МВ = АС.

Дан прямоугольный треугольник ABC и пирамида MAVS с основанием ABC. Требуется найти угол между плоскостями ВАК и АКС, если MV = AC.

Решение:
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Пусть AC = BC = a и AB = b.

2. По условию задачи, MV = AC = a. Также, так как К – середина ребра МС, то МК = КС = (1/2)MV = (1/2)a.

3. Рассмотрим плоскости ВАК и АКС. Векторы ВА и АК принадлежат этим плоскостям.

4. Векторы АК и ВА могут быть найдены как разность векторов CK и CV и AV и VA соответственно.

5. Вектор CK = К – С = (1/2)a – 0 = (1/2)a и вектор CV = V – C = (0, -a, 0).

6. Вектор АК = CK – CV = (1/2)a – (0, -a, 0) = ((1/2)a, a, 0).

7. Аналогично, найдем векторы АВ и ВА: АВ = B – A = (b, -a, 0) и ВА = A – V = (0, a, 0).

8. Угол между плоскостями ВАК и АКС может быть найден как угол между векторами АК и ВА, используя скалярное произведение векторов.

9. Скалярное произведение векторов АК и ВА равно: (1/2)a * 0 + a * a + 0 * 0 = a^2.

10. Длина вектора АК равна sqrt((1/2)^2 * a^2 + a^2 + 0^2) = sqrt(1/4 * a^2 + a^2) = a * sqrt(5/4) = (a * sqrt(5))/2.

11. Длина вектора ВА равна sqrt(b^2 + (-a)^2 + 0^2) = sqrt(b^2 + a^2).

12. Скалярное произведение векторов АК и ВА равно a^2.

13. Известно, что скалярное произведение двух векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

14. Таким образом, a^2 = (a * sqrt(5))/2 * sqrt(b^2 + a^2) * cos(угол между плоскостями ВАК и АКС).

15. Делим обе части уравнения на a и упрощаем: a = (sqrt(5)/2) * sqrt(b^2 + a^2) * cos(угол между плоскостями ВАК и АКС).

16. Делим обе части уравнения на (sqrt(5)/2) * sqrt(b^2 + a^2) и получаем: cos(угол между плоскостями ВАК и АКС) = a / (sqrt(5)/2 * sqrt(b^2 + a^2)).

17. Выражение в правой части уравнения можно упростить, заменив a на MV и заменив b на AC: cos(угол между плоскостями ВАК и АКС) = MV / (sqrt(5)/2 * sqrt(AC^2 + MV^2)).

18. Учитывая, что MV = AC и подставляя эти значения в уравнение, получаем: cos(угол между плоскостями ВАК и АКС) = AC / (sqrt(5)/2 * sqrt(AC^2 + AC^2)).

19. Упрощаем выражение: cos(угол между плоскостями ВАК и АКС) = AC / (sqrt(5)/2 * sqrt(2 * AC^2)) = sqrt(2/5).

20. Итак, угол между плоскостями ВАК и АКС равен arccos(sqrt(2/5)).