В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB_BC=1:2, АВ=2 см и все боковые ребра равны между собой, BC=AS. Найдите угол между плоскостями 1) (SDC) и (ABC); 2) (SDC) и (ASD); 3) (ADC) и (SBC).

Данные задачи связаны с геометрией пирамиды SABCD. Давайте рассмотрим каждую задачу по отдельности:

1) Найдем угол между плоскостями (SDC) и (ABC).
Для этого нам понадобится найти нормали к этим плоскостям. Нормаль к плоскости (SDC) будет перпендикулярна вектору SD × SC, а нормаль к плоскости (ABC) будет перпендикулярна вектору AB × AC.
Найдем эти векторы:
SD = D – S = (0 – 0, 0 – 0, d – h) = (0, 0, d – h),
SC = C – S = (2 – 0, 0 – 0, c – h) = (2, 0, c – h),
AB = B – A = (2 – 0, 2 – 0, b – a) = (2, 2, b – a),
AC = C – A = (2 – 0, 0 – 0, c – a) = (2, 0, c – a),
где d – высота пирамиды, h – высота прямоугольника, b, c, a – стороны прямоугольника (ширина, длина, высота соответственно).
Теперь найдем векторное произведение для нормалей:
SD × SC = (0, 0, d – h) × (2, 0, c – h) = (0 * (c – h) – 0 * 0, 2 * (d – h) – 0 * (c – h), 0 * (2) – 0 * (d – h)) = (0, 2d – 2h, 0),
AB × AC = (2, 2, b – a) × (2, 0, c – a) = (2 * (c – a) – 0 * 2, 2 * (2) – 2 * (c – a), 2 * (0) – 2 * (2)) = (2c – 2a, 4 – 2c + 2a, -4).

Теперь найдем косинус угла между этими нормалями:
cos(θ) = (SD × SC) · (AB × AC) / (|SD × SC| * |AB × AC|),
где · – скалярное произведение, |..| – модуль вектора.
Подставляя значения:
cos(θ) = (0 * (2c – 2a) + (2d – 2h) * (4 – 2c + 2a) + 0 * -4) / sqrt((2d – 2h)^2 + 0^2 + 0^2) * sqrt((2c – 2a)^2 + (4 – 2c + 2a)^2 + (-4)^2),
Мы можем упростить выражение, использовав тот факт, что у нас AB_BC=1:2:
cos(θ) = (2d – 2h) * (4 – 2c + 2a) / sqrt((2d – 2h)^2 + 0^2 + 0^2) * sqrt((2c – 2a)^2 + (4 – 2c + 2a)^2 + (-4)^2),

Теперь мы можем найти значение cos(θ) и, затем, угол θ.

2) Найдем угол между плоскостями (SDC) и (ASD).
В данном случае плоскость (ASD) проходит через точку A, поэтому нормаль к ней будет перпендикулярна вектору AD.
Найдем этот вектор:
AD = D – A = (0 – 0, 0 – 0, d – a) = (0, 0, d – a),
Теперь найдем косинус угла между нормалями:
cos(θ) = (SD × SC) · AD / (|SD × SC| * |AD|),
Подставляя значения:
cos(θ) = (0 * 0 + (2d – 2h) * 0 + 0 * (d – a)) / sqrt((2d – 2h)^2 + 0^2 + 0^2) * sqrt(0^2 + 0^2 + (d – a)^2),
упрощая, получаем:
cos(θ) = 0,

Значит, угол между плоскостями (SDC) и (ASD) равен 90 градусов.

3) Найдем угол между плоскостями (ADC) и (SBC).
Плоскость (SBC) параллельна плоскости (ABC), поэтому нормаль к ним будет иметь одно и то же направление. То же самое можно сказать о плоскостях (ADC) и (SDC).
Таким образом, угол между плоскостями (ADC) и (SBC) равен углу между плоскостями (ABC) и (SDC), и мы уже рассчитали его в первой задаче. Ответ будет такой же как в первой задаче.