Пусть точка O – центр описанной окружности, а точки H и M – основания высот из вершин B и C соответственно.
Поскольку треугольник ABC остроугольный, то точка O лежит внутри треугольника. Также, поскольку высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке, то точка O лежит на расстоянии, равном отрезку BH, от прямой AC. Аналогично, точка O отстоит от прямой AB на расстоянии, равном отрезку CM.
Так как BH = 10, а прямые BP и AQ параллельны, площадь прямоугольного треугольника BHA равна 70. Аналогично, площадь прямоугольного треугольника CMA равна 35.
Таким образом, площадь треугольника ABC равна 70 + 35 = 105.
Мы можем выразить площадь треугольника ABC, используя высоту, спущенную из вершины A:
S = (AB×AH) / 2 = (AC×AM) / 2 = (BC×AO) / 2.
Таким образом, площадь треугольника ABC равна (BC×AO) / 2, откуда следует, что BC×AO = 210.
Заметим, что прямые PQ и OH также параллельны. Таким образом, расстояние AD от точки A до прямой PQ равно отрезку HM между прямыми BH и CM.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AOH. Мы знаем, что BH = 10 и AH = 7. Применив теорему Пифагора, найдем AO:
AO = sqrt(AH^2 – BH^2) = sqrt(7^2 – 10^2) = sqrt(49 – 100) = sqrt(-51).
Аналогично, CM = 5 и AM = 10. Тогда MO = sqrt(AM^2 – CM^2) = sqrt(100 – 25) = sqrt(75) = 5√3.
Так как BC×AO = 210, то BO×AO = 210/2 = 105. Поскольку MO = 5√3, то BM = BO – MO = 105 – 5√3.
Итак, AD = HM = BO – BM = 105 – (105 – 5√3) = 5√3.
Ответ: AD = 5√3.