В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁₁, все грани которого прямоугольники, точка Е середина ребра АВ. Известно, что AA₁ = 3, AD = 4 и АВ = 24. Найдите косинус угла между прямой D₁E 1. плоскостью грани ВCC₁B1; 2. плоскостью грани DCC1D1.

1. Рассмотрим плоскость грани ВCC₁B₁. Для начала найдем ее нормальный вектор. Для этого возьмем два вектора, лежащих на плоскости:

ВС – вектор, направленный от вершины В к вершине С,

C₁С – вектор, направленный от вершины С₁ к вершине С.

Найдем их векторное произведение, чтобы получить нормальный вектор плоскости:

n₁ = ВС × C₁С.

Затем найдем вектор DE, соединяющий точку D₁ с точкой Е. Нормализуем этот вектор, поделив его на длину:

d₁ = 1 / |DE| * DE.

Теперь найдем косинус угла между вектором d₁ и нормальным вектором n₁ с помощью скалярного произведения:

cos(θ₁) = (d₁ · n₁) / (|d₁| * |n₁|).

2. Рассмотрим плоскость грани DCC₁D₁. Аналогично предыдущему шагу найдем ее нормальный вектор:

n₂ = CC₁ × C₁D.

Затем найдем вектор DE, соединяющий точку D₁ с точкой Е, и нормализуем его:

d₂ = 1 / |DE| * DE.

Найдем косинус угла между вектором d₂ и нормальным вектором n₂:

cos(θ₂) = (d₂ · n₂) / (|d₂| * |n₂|).

Решение:

1. Найдем вектор ВС: ВС = С – В = (-24, 0, 0).
Найдем вектор C₁С: C₁С = С – C₁ = (0, 12, 0).
Найдем нормальный вектор n₁: n₁ = ВС × C₁С = (0, 0, -288).
Найдем вектор DE: DE = Е – D₁ = (0, 4, -12).
Нормализуем вектор DE: |DE| = √(0^2 + 4^2 +(-12)^2) = √(16 + 144) = √160 = 4√10.
Найдем единичный вектор d₁: d₁ = (1 / (4√10)) * (0, 4, -12) = (0, 1 / √10, -3 / √10).
Вычислим косинус угла θ₁: cos(θ₁) = (d₁ · n₁) / (|d₁| * |n₁|) = (0 * 0 + (1 / √10) * 0 + (-3 / √10) * (-288)) / (√(0^2 + (1 / √10)^2 + (-3 / √10)^2) * √(0^2 + 0^2 + (-288)^2)) = 0 / (√(1 / 10 + 9 / 10) * 288) = 0.

2. Найдем вектор CC₁: СС₁ = С₁ – C = (0, -12, 0).
Найдем вектор C₁D: C₁D = D – C₁ = (24, 0, 0).
Найдем нормальный вектор n₂: n₂ = CC₁ × C₁D = (0 * 0, 0 * 0, -144).
Найдем вектор DE: DE = Е – D₁ = (0, 4, -12).
Нормализуем вектор DE: |DE| = 4√10.
Найдем единичный вектор d₂: d₂ = (1 / (4√10)) * (0, 4, -12) = (0, 1 / √10, -3 / √10).
Вычислим косинус угла θ₂: cos(θ₂) = (d₂ · n₂) / (|d₂| * |n₂|) = (0 * 0 + (1 / √10) * 0 + (-3 / √10) * (-144)) / (√(1 / 10 + 9 / 10) * 144) = 0 / (√160 * 144) = 0.

Ответ:
1. Косинус угла между прямой D₁E и плоскостью грани ВCC₁B₁ равен 0.
2. Косинус угла между прямой D₁E и плоскостью грани DCC₁D₁ также равен 0.