а) Чтобы найти уравнение медианы m через вершину C, нужно найти середину отрезка AB. Для этого найдем сначала координаты середины отрезка AB.
Середина отрезка AB имеет координаты (x,y), где x-координата равна среднему значению x-координат вершин A и B, а y-координата равна среднему значению y-координат вершин A и B.
x = (-1 + 2) / 2 = 1/2, y = (0 – 3) / 2 = -3/2.
То есть середина отрезка AB имеет координаты (1/2, -3/2).
Медиана m – это отрезок, соединяющий вершину C с серединой отрезка AB. Уравнение медианы m можно записать в виде:
m: (x, y) = (5, 3) + t((1/2, -3/2) – (5, 3)), где t – параметр.
Раскрывая скобки получаем: m: (x, y) = (5, 3) + t((1/2 – 5, -3/2 – 3)).
Упрощаем выражение: m: (x, y) = (5, 3) + t(-9/2, -9/2).
б) Чтобы найти уравнение высоты h через вершину A, нужно найти перпендикуляр к стороне AC, проходящий через вершину A.
Уравнение стороны AC: AC: (x, y) = (5, 3) + s((-1, 0) – (5, 3)), где s – параметр.
Раскрывая скобки получаем: AC: (x, y) = (5, 3) + s(-6, -3).
Упрощаем выражение: AC: (x, y) = (5, 3) + s(-6, -3).
Высота h – это прямая, проходящая через вершину A перпендикулярно стороне AC. Поэтому h: (x, y) = (x, y) = (x0, y0) + t(-3, 6), где (x0, y0) – координаты вершины A.
в) Чтобы найти точку пересечения прямых m и h, необходимо приравнять их координаты x и y и решить полученную систему уравнений.
Для x: 5 – 9/2 * t = x0 – 3t.
Здесь x0 = -1, поэтому: 5 – 9/2 * t = -1 – 3t.
Для y: 3 – 9/2 * t = y0 + 6t.
Здесь y0 = 0, поэтому: 3 – 9/2 * t = 0 + 6t.
Решаем данную систему уравнений и находим значение t: 5 – 9/2 * t = -1 – 3t => t = -1/2.
Подставляем найденное значение t в уравнение h и находим координаты точки пересечения: h: (x, y) = (-1, 0) + (-1/2) * (-3, 6) = (-1, 0) + (3/2, -3).
г) Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона. Для этого необходимо сначала найти длины сторон треугольника AB, BC и AC, а затем использовать формулу:
S = sqrt(p * (p – AB) * (p – BC) * (p – AC)),
где p = (AB + BC + AC) / 2.
AB = sqrt((2 – (-1))^2 + (-3 – 0)^2) = sqrt(9 + 9) = 3 * sqrt(2),
BC = sqrt((5 – 2)^2 + (3 – (-3))^2) = sqrt(9 + 36) = 3 * sqrt(5),
AC = sqrt((5 – (-1))^2 + (3 – 0)^2) = sqrt(36 + 9) = 3 * sqrt(3).
p = (AB + BC + AC) / 2 = (3 * sqrt(2) + 3 * sqrt(5) + 3 * sqrt(3)) / 2.
Вычисляем значение p и последовательно подставляем в формулу, чтобы найти площадь S.