В правильной пирамиде TABC сторона основания AB равна 14 , высота TH равна 4 ⋅ √ 3 . Точка K лежит на боковом ребре TA, TK : KA = 2 : 5. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K и пересекает ребра TB и TC в точках Q и P, соответственно. а) Найдите отношение площади четырехугольника BCPQ к площади треугольника TBC. б) Найдите объем пирамиды KBCPQ.

а) Из подобия треугольников TKQ и TAB следует, что
KQ : AB = TK : TA.
Так как TK : TA = 2 : 5, получаем KQ : AB = 2 : 5.
Значит, отношение площадей треугольников TKQ и TAB также равно 2 : 5.

Аналогично, из подобия треугольников KCP и TAC следует, что
KP : AC = KC : TA.
Так как KC : TA = 3 : 7, получаем KP : AC = 3 : 7.
Значит, отношение площадей треугольников KCP и TAC также равно 3 : 7.

Таким образом, площадь четырехугольника BCPQ равна сумме площадей треугольников TKQ и KCP, что составляет 2/5 + 3/7 = 29/35 от площади треугольника TAB.

б) Найдем высоту пирамиды KBCPQ. Высота пирамиды равна высоте треугольника TAB, умноженной на отношение длин соответствующих отрезков оснований. Так как TK : TA = 2 : 5 и AB = 14, получаем TK = 2/5 * 14 = 5.6.
Также, высота треугольника TAB равна 4 * sqrt(3).
Таким образом, высота пирамиды KBCPQ равна 4 * sqrt(3) * (5.6 / 14) = sqrt(3).

Теперь вычислим площадь основания BCPQ. Она равна площади треугольника TBC, так как площадь четырехугольника BCPQ составляет всю площадь треугольника.

Для нахождения объема пирамиды, умножим площадь основания на высоту и разделим результат на 3.
Таким образом, объем пирамиды KBCPQ равен 1/3 * (площадь основания BCPQ) * (высота KM).
Подставляя значения, получаем
V = 1/3 * (площадь треугольника TBC) * sqrt(3).

Ответ:
а) Отношение площади четырехугольника BCPQ к площади треугольника TBC составляет 29/35.
б) Объем пирамиды KBCPQ равен 1/3 * (площадь треугольника TBC) * sqrt(3).