Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения площади поверхности пирамиды:
[A = B + frac{1}{2} P l,]
где A – площадь поверхности пирамиды, B – площадь основания, P – периметр основания, l – апофема.
В нашей задаче пирамида является правильной треугольной пирамидой, поэтому ее основание – правильный треугольник. Площадь основания такого треугольника можно найти по формуле:
[B = frac{sqrt{3}}{4} a^2,]
где a – длина стороны треугольника.
У нас даны апофема и одно боковое ребро треугольной пирамиды. Так как пирамида является правильной, остальные два боковых ребра также равны 10 дм.
Шаги решения:
1. Найдем длину стороны треугольника:
[a = frac{2 cdot l}{sqrt{3}} = frac{2 cdot 8}{sqrt{3}} approx 9.237 text{ дм}.]
2. Найдем площадь основания треугольной пирамиды:
[B = frac{sqrt{3}}{4} cdot 9.237^2 approx 35.742 text{ дм}^2.]
3. Найдем периметр основания:
[P = 3 cdot a = 3 cdot 9.237 approx 27.711 text{ дм}.]
4. Найдем площадь поверхности пирамиды:
[A = 35.742 + frac{1}{2} cdot 27.711 cdot 10 = 35.742 + 138.555 = 174.297 text{ дм}^2.]
Ответ: площадь поверхности пирамиды равна 174.297 дм².