Для решения задачи нам потребуется формула для площади поверхности правильной треугольной пирамиды:
S = (a*l)/2 + (a*p)/2,
где S – площадь поверхности пирамиды, a – длина стороны основания, l – апофема (расстояние от центра основания до вершины), p – периметр основания.
Дано, что боковая поверхность равна 27 см2. Она состоит из трех равных боковых поверхностей, так как пирамида правильная. Значит, одна боковая поверхность равна 9 см2.
Шаг 1: Найдем длину стороны основания:
Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле S = (a^2 * sqrt(3))/4, где a – длина стороны треугольника.
9 = (a^2 * sqrt(3))/4, т.е. a^2 = (9 * 4)/sqrt(3). Из этого a^2 = 12(sqrt(3)).
a = sqrt(12(sqrt(3))).
Шаг 2: Найдем периметр основания:
Периметр равностороннего треугольника равен 3*a.
Периметр основания треугольной пирамиды равен 18 см, значит, 3*a = 18, a = 6 см.
Шаг 3: Найдем апофему:
S = (a*l)/2 + (a*p)/2, заменим известные значения: 9 = (6*l)/2 + (6*6)/2,
9 = 3l + 18, 3l = -9, l = -3 см. Отбросим отрицательное значение и возьмем l = 3 см.
Шаг 4: Найдем плоский угол при вершине пирамиды.
Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле:
Cos(w) = (h^2 + l^2 – a^2)/(2*h*l), где w – плоский угол, h – высота пирамиды от вершины до основания (апофема), l – апофема, a – длина стороны основания.
Cos(w) = (l^2 – a^2)/(2*l*l), подставляем значения: Cos(w) = (3^2 – 6^2)/(2*3^2),
Cos(w) = (9 – 36)/(18), Cos(w) = -27/18 = -3/2.
Ответ: Апофема равна 3 см, плоский угол при вершине пирамиды Cos(w) = -3/2.