В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми CM и AN, где M и N – соответственно середины ребер A1C1 и B1A1.

Чтобы найти косинус угла между прямыми CM и AN, нам нужно найти скалярное произведение векторов, соответствующих этим прямым.

Шаги решения:
1. Обозначим вектор CM как вектор MC → и вектор AN как вектор NA →.
2. Найдем координаты векторов MC → и NA →. Так как M – середина ребра A1C1, а N – середина ребра B1A1, то координаты вектора MC → можно найти, вычтя координаты точки M из координат точки C, а координаты вектора NA → можно найти, вычтя координаты точки N из координат точки A.
3. Обозначим координаты вектора MC → как (x1, y1, z1) и координаты вектора NA → как (x2, y2, z2).
4. Вычислим скалярное произведение векторов MC → и NA → по формуле: MC → · NA → = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2.
5. Найдем длины векторов MC → и NA →. Длина вектора MC → равна длине отрезка CM, что равно длине стороны треугольника ABC, то есть 1. Длина вектора NA → равна длине отрезка AN, что равно длине стороны треугольника ABC1, то есть 1.
6. Подставим значения длин векторов и скалярное произведение в формулу косинуса: cos(θ) = (MC → · NA →) / (|MC →| * |NA →|) = (x1*x2 + y1*y2 + z1*z2) / (1*1) = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2.

Таким образом, косинус угла между прямыми CM и AN равен x1*x2 + y1*y2 + z1*z2.