В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 3, найдите косинус угла между прямыми АМ и CN, где М и N – соответственно середины ребер A1B1 и В1С1.

Обозначим точки M и N – середины ребер A1B1 и В1С1 соответственно. Так как треугольная призма ABС располагается в пространстве, нам понадобится использовать трехмерную геометрию для решения задачи. Рассмотрим основание призмы ABC и соединим точки A и C прямой отрезок AC.

Шаг 1: Найдем вектора АС̅ и МN̅, соединяющие точки А и С, а также точки M и N.

Вектор АС̅ = (Сx – Аx, Су – Ау, Сz – Аz)
= (3 – 0, 0 – 0, 0 – 0)
= (3, 0, 0)

Вектор МN̅ = (Nx – Мx, Ny – Му, Nz – Мz)
= (0 – 1, 0 – 1, 0 – 0)
= (-1, -1, 0)

Шаг 2: Найдем длины векторов АС̅ и МN̅.

Длина вектора АС̅ = √((3^2) + 0^2 + 0^2) = √9 = 3

Длина вектора МN̅ = √((-1)^2 + (-1)^2 + 0^2) = √2

Шаг 3: Найдем скалярное произведение векторов АС̅ и МN̅.

АС̅ · МN̅ = (3)(-1) + (0)(-1) + (0)(0)
= -3 + 0 + 0
= -3

Шаг 4: Найдем произведение длин векторов АС̅ и МN̅.

|АС̅| * |МN̅| = 3 * √2

Шаг 5: Найдем косинус угла κ между прямыми AM и CN, используя формулу для косинуса угла между векторами.

cos(κ) = (АС̅ · МN̅) / (|АС̅| * |МN̅|)
= -3 / (3 * √2)
= -√2 / 2

Ответ: Косинус угла между прямыми АМ и CN равен -√2 / 2.