1. Обозначим центр описанной окружности треугольника как , а точку пересечения биссектрисы угла с прямой – как .
2. Нам нужно показать, что точка лежит на прямой .
3. Отметим углы треугольника как , и : ∠ = ∠ , ∠ = ∠ и ∠ = ∠ .
4. Так как треугольник – прямоугольный, то ∠ = 90°.
5. Также отметим, что ∠ = 180° – (∠ + ∠ ) = 180° – (∠ + ∠ ) = 180° – ∠ , где ∠ – угол в точке против строящейся прямой .
6. Так как = , углы и равны. Обозначим их как .
7. Так как и – треугольники с общим углом и одинаковыми углами при основании и против матящего угла, то эти треугольники равны по двум углам.
8. Следовательно, ∠ = ∠ .
9. Из пункта 6 и пункта 8 следует, что ∠ = ∠ = ∠ (угол вписанный в окружности, опирающийся на дугу ).
10. Так как треугольники ∆ и ∆ – треугольники с одним равным углом при вершине и равными основаниями (радиусами окружностей), то это равнобедренные треугольники.
11. Следовательно, ∠ = ∠ , где – центр описанной окружности треугольника .
12. Из пункта 11 следует, что ∠ = ∠ = 90°.
13. Из пункта 12 следует, что точка лежит на перпендикуляре от точки к прямой .
14. Так как прямая является биссектрисой угла , то она перпендикулярна прямой в точке .
15. Таким образом, мы показали, что центр описанной окружности треугольника лежит на биссектрисе угла .
Задача решена.