Обозначим стороны треугольника как AB, BC и AC.
По условию, внешний угол при вершине A равен 120 градусам. Внешний угол при вершине A является смежным с углом C, поэтому угол C также равен 120 градусам.
Поскольку треугольник прямоугольный, угол B равен 90 градусам.
Теперь воспользуемся теоремой синусов: отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла одинаково для всех сторон треугольника.
В треугольнике ABC:
AB/sin(120) = BC/sin(90) = AC/sin(30)
Синус 120 градусов равен sin(120) = sqrt(3)/2
Синус 90 градусов равен sin(90) = 1
Синус 30 градусов равен sin(30) = 1/2
Таким образом, у нас есть два уравнения:
AB/(sqrt(3)/2) = BC/1
AC/(1/2) = AB/(sqrt(3)/2)
Можно упростить уравнения, умножив обе части каждого уравнения на подходящий множитель:
AB*(2/sqrt(3)) = BC
2*AC = AB*(2*sqrt(3))
По условию задачи, мы знаем, что AC + AB = 18 см
Из этого уравнения можно выразить AB через AC:
AB = 18 – AC
Теперь мы получили два уравнения с двумя неизвестными (AB и AC).
Подставим AB = 18 – AC в полученные ранее уравнения и решим их совместно.
(18 – AC)*(2/sqrt(3)) = BC
2*AC = (18 – AC)*(2*sqrt(3))
Решив это систему уравнений, мы найдем значения AB и AC.