Пусть меньший катет имеет длину х, и больший катет — у. Тогда, используя свойства биссектрисы, мы можем записать:
$frac{y}{x} = frac{13}{5}$
Домножим обе части на $x$, чтобы избавиться от дроби:
$y = frac{13}{5}x$
Теперь вспомним теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:
$x^2 + y^2 = z^2$
где z — гипотенуза треугольника. В данном случае гипотенуза — это больший катет у. Подставим значение y в уравнение Пифагора:
$x^2 + left(frac{13}{5}xright)^2 = y^2$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + frac{169}{25}x^2 = y^2$
$frac{25x^2 + 169x^2}{25} = y^2$
$frac{194x^2}{25} = y^2$
Заметим, что $frac{194}{25}$ — это квадратное число, поскольку числитель и знаменатель не имеют общих делителей. Получаем, что $y^2$ также является квадратным числом и может быть записано в виде $y^2 = left(frac{194}{25}right)^2 = left(frac{14}{5}right)^2$.
Значит, $y = frac{14}{5}$.
Мы знаем, что $y$ представляет собой больший катет треугольника. Однако вопрос просит найти длину меньшего катета. Поэтому, чтобы найти x (меньший катет), мы можем использовать отношение, которое мы изначально записали:
$frac{y}{x} = frac{13}{5}$
Подставим известное значение y:
$frac{frac{14}{5}}{x} = frac{13}{5}$
Упростим выражение, умножив обе части на 5:
$frac{14}{5x} = frac{13}{5}$
Умножим обе части на $5x$, чтобы избавиться от дроби:
$14 = 13x$
Разделим обе части на 13:
$x = frac{14}{13}$
Таким образом, меньший катет треугольника имеет длину $frac{14}{13}$.