В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла. Известно, что эта биссектриса делит противолежащий катет на отрезки 5 и 13. Найдите длину меньшего катета этого прямоугольного треугольника.

Пусть треугольник ABC имеет острый угол A, противолежащий катет BC и биссектрису AD острого угла A, которая делит катет BC на отрезки с длиной x и y.
Мы знаем, что x + y = 13 (1) и x/y = 5 (2).

Из уравнения (2) можно выразить x через y: x = 5y.
Подставим это выражение в уравнение (1): 5y + y = 13.
Упростим выражение: 6y = 13.
Разделим обе части на 6: y = 13/6.
Теперь подставим значение y в уравнение (1) и найдем x: x = 13 – y = 13 – 13/6 = (78 – 13)/6 = 65/6.

Таким образом, длина меньшего катета этого прямоугольного треугольника равна 65/6.