Пусть меньший катет треугольника равен x. Так как биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки 5 и 13, мы можем записать следующее соотношение:
$frac{13}{5} = frac{x}{sqrt{x^2 + (x+13)^2}}$
Раскрывая знаменатель в правой части уравнения и упрощая его, получаем:
$frac{13}{5} = frac{x}{sqrt{2x^2 + 26x + 169}}$
Возводим обе части уравнения в квадрат и упрощаем:
$frac{169}{25} = frac{x^2}{2x^2 + 26x + 169}$
Умножаем обе части уравнения на $2x^2 + 26x + 169$, получаем:
$169x^2 = 50x^2 + 650x + 4225$
Переносим все члены уравнения в левую часть:
$119x^2 – 650x – 4225 = 0$
Теперь мы можем решить это уравнение квадратным способом. Решив его, получим два значения x. Одно из них будет отрицательным и не имеет физического смысла, так как длина катета не может быть отрицательной. Таким образом, меньший катет треугольника равен второму решению этого уравнения, которое будет положительным числом. Ответ представляет собой это числовое значение.
