Пусть катет треугольника, на котором проведена биссектриса, имеет длину x. Значит, отрезки, на которые это катет делится биссекрисой, имеют длины 4 и 5.
1. По теореме о биссектрисе треугольника, отрезки, на которые биссектриса делит сторону противолежащую измеряются пропорционально близлежащим сторонам:
x/4 = x/5 = гипотенуза/(4+5) (1)
2. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:
гипотенуза^2 = катет^2 + катет^2
гипотенуза^2 = x^2 + x^2
гипотенуза^2 = 2x^2 (2)
3. Подставим (2) в (1):
2x^2/(4+5) = x/4
2x^2/9 = x/4
4. Умножим обе части уравнения на 9 * 4 = 36, чтобы избавиться от дробей:
8x^2 = 9x
5. Перенесем все члены в левую часть уравнения:
8x^2 – 9x = 0
6. Решим полученное квадратное уравнение:
x(8x – 9) = 0
Имеем два решения:
x = 0 и x = 9/8
7. Ответ: длина катета, на котором проведена биссектриса, равна 9/8. Для нахождения длины гипотенузы, подставим найденное значение x в уравнение (2):
гипотенуза^2 = 2 * (9/8)^2
гипотенуза^2 = 81/32
Возьмем квадратный корень из обеих частей:
гипотенуза = √(81/32)
гипотенуза = (9/4)√2
Итак, длина гипотенузы этого прямоугольного треугольника равна (9/4)√2.