Пусть стороны прямоугольного треугольника равны a, b и c, где c – гипотенуза, а a и b – катеты.
Так как биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки 5 и 13, можно записать следующее соотношение:
b/5 = c/13
Так как катеты и гипотенуза связаны равенством Pythagorean a^2 + b^2 = c^2, можно записать следующее соотношение:
a^2 + b^2 = c^2
Теперь подставим найденное соотношение для b из первого уравнения во второе:
a^2 + (5c/13)^2 = c^2
Упростим это выражение:
a^2 + 25c^2/169 = c^2
Перенесем все слагаемые с c^2 в левую часть уравнения:
a^2 – c^2 + 25c^2/169 = 0
Найдем общий знаменатель и проделаем необходимые вычисления:
169a^2 – 169c^2 + 25c^2 = 0
169a^2 – 144c^2 = 0
Поделим оба члена на 169:
a^2 – (144/169)c^2 = 0
Теперь сократим дробь 144/169:
a^2 – (12/13)c^2 = 0
Для нахождения катета a возьмем квадратный корень из полученного уравнения:
a = √((12/13)c^2)
a = (12/13)√c^2
Длина меньшего катета a – это найденное выражение, зависящее от гипотенузы c.