Шаги решения задачи:
1. Из условия задачи мы знаем, что в трапеции один угол между боковой стороной и основанием равен 45°. Поскольку трапеция является равнобедренной, это означает, что второй угол между боковой стороной и другим основанием также равен 45°.
2. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, мы можем найти третий угол треугольника, составленного из боковой стороны и обеих оснований: 180° – 45° – 45° = 90°. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник, в котором один катет равен 3, а другой – 9.
3. Мы можем найти длину второго катета, применив теорему Пифагора: a^2 + b^2 = c^2, где a и b – катеты, а c – гипотенуза. В нашем случае, а = 3 и c = 9, поэтому b^2 = 9^2 – 3^2 = 81 – 9 = 72. Таким образом, b = √72 = 6√2.
4. Площадь трапеции можно найти по формуле: S = (a + b) * h / 2, где a и b – длины оснований, а h – высота. В нашем случае, a = 3, b = 9 и h – высота, которую мы должны найти.
5. Высоту трапеции можно найти, применив теорему Пифагора к высоте, основанию и диагонали трапеции. Диагональ равна √(a^2 + b^2) = √(3^2 + (6√2)^2) = √(9 + 72) = √81 = 9. Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник с катетами – высотой и основанием и гипотенузой – диагональю.
6. Подставив известные значения в теорему Пифагора, мы можем найти высоту: h^2 + 3^2 = 9^2, h^2 + 9 = 81, h^2 = 72, h = √72 = 6√2.
7. Теперь мы можем вычислить площадь трапеции: S = (3 + 9) * 6√2 / 2 = 12 * 6√2 / 2 = 72√2.
Ответ: площадь трапеции равна 72√2.