В равнобедренный треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противоположного угла лежит на основании треугольника. Докажите, что периметр параллелограмма есть величина постоянная для данного треугольника.

Определим параллелограмм и треугольник для удобства:

Параллелограмм – ABCD.
Треугольник – ABP, где P – вершина противоположного угла параллелограмма.

Поскольку параллелограмм ABCD является вписанным в треугольник ABP, то

∠PAB = ∠BAC. (1) (Угол между диагональю параллелограмма и одной из его сторон равен смежному углу треугольника.)

∠PBA = ∠DAC. (2) (Угол между диагональю параллелограмма и одной из его сторон равен смежному углу треугольника.)

∠CDA = ∠CPA. (3) (Угол между диагональю параллелограмма и одной из его сторон равен смежному углу треугольника.)

Используя между результаты (1), (2) и (3), можем записать:

∠BAC + ∠DAC + ∠CDA = ∠PAB + ∠PBA + ∠CPA.

Так как треугольник PAB равнобедренный (AB = AP), то ∠PAB = ∠PBA.
Аналогично, поскольку треугольник ADP равнобедренный (AD = AP), то ∠DAC = ∠DCA.

Тогда равенство ∠BAC + ∠DAC + ∠CDA = ∠PAB + ∠PBA + ∠CPA становится:

∠BAC + ∠DAC + ∠CDA = ∠PAB + ∠PAB + ∠CPA.

Учитывая, что ∠CDA = ∠CPA, можем упростить уравнение еще больше:

∠BAC + ∠DAC + ∠CDA = 2∠PAB + ∠CPA.

Но мы знаем, что ∠BAC + ∠DAC + ∠CDA = 180°, так как это сумма углов треугольника.

Поэтому получаем:

180° = 2∠PAB + ∠CPA.

Вспомним, что угол ∠PAB равен углу, при вершине треугольника.

Теперь можно продемонстрировать, что ∠PAB + ∠CPA = 90°:

Поскольку параллелограмм ABCD – вписанный в треугольник ABP, то ∠ABP + ∠PAB = 180°.

Аналогично, поскольку параллелограмм ABCD – вписанный в треугольник DCP, ∠DCP + ∠CPA = 180°.

Сложим оба равенства:

(∠ABP + ∠PAB) + (∠DCP + ∠CPA) = 180° + 180°.

Упростим:

∠ABP + ∠PAB + ∠DCP + ∠CPA = 360°.

Заметим, что ∠ABP и ∠DCP являются смежными, поэтому их можно объединить:

∠PAB + (∠ABP + ∠DCP) + ∠CPA = 360°.

Используя соотношение ∠ABP + ∠DCP = 180°, получаем:

∠PAB + 180° + ∠CPA = 360°.

Таким образом, ∠PAB + ∠CPA = 180° – ∠PAB.

Осталось только подставить это равенство в уравнение 180° = 2∠PAB + ∠CPA:

180° = 2∠PAB + (180° – ∠PAB).

Упрощаем:

180° = ∠PAB + 180°.

Итак, ∠PAB = 0°.

Это означает, что ∠CPA = 180° – ∠PAB = 180°.

Таким образом, мы доказали, что углы треугольника ABP являются прямыми (∠PAB = ∠CPA = 90°).

Он превращается в прямоугольник. Для прямоугольника периметр является постоянной величиной вне зависимости от размера его сторон. Поэтому периметр параллелограмма ABCD также является постоянным, независимо от размера треугольника ABP.