Для решения задачи нам понадобится найти радиус шара. Отметим, что радиус шара есть радиус вписанной окружности на площади основания конуса.
Объем конуса можно выразить через радиус его основания r и его высоту h по формуле V = (1/3) * пи * r^2 * h. Равенство объема конуса 9 * sqrt(3) * пи и известное нам равенство V = (1/3) * пи * r^2 * h позволяет нам найти высоту конуса, которая равна 9 * sqrt(3). Так как конус равносторонний, то его высота является высотой и для его поверхности, а следовательно, и для шара.
Таким образом, радиус вписанного шара равен расстоянию от его центра до вершины конуса, то есть половине высоты конуса, то есть (9 * sqrt(3)) / 2.
Площадь поверхности шара можно определить как 4 * пи * r^2, где r – радиус шара. Подставляем значение радиуса и получаем 4 * пи * ((9 * sqrt(3)) / 2)^2 = 4 * пи * (81 * 3 / 4) = 81 * пи * 3.
Число x, в условии задачи обозначенное площадью поверхности шара, равно 81 * 3, то есть 243.
Ответ: x = 243.