Для начала, заметим, что в параллелограмме противолежащие стороны равны и параллельны. Нам нужно доказать, что стороны KN и LM параллельны и равны.
Для этого проведем отрезки KL и NM. Обозначим точку их пересечения как P. Так как K и L – середины ребер AD и BC, то по теореме о серединном перпендикуляре отрезки KP и LP перпендикулярны ребрам AD и BC соответственно (то есть KP ⊥ AD и LP ⊥ BC).
Аналогично, так как M и N – середины ребер DB и AC, то MP ⊥ DB и NP ⊥ AC.
Отсюда следует, что все четыре отрезка KP, LP, MP, NP являются высотами граней тетраэдра DAVC.
Так как точка P – точка пересечения этих высот, то она является ортоцентром граней DAV и CNB тетраэдра.
Следовательно, NP ⊥ AC и NP ⊥ KN, а значит AC || KN.
Аналогичными рассуждениями можно показать, что BC || LM.
Таким образом, мы доказали, что стороны KN и LM параллельны соответственным сторонам AC и BC.
Теперь докажем равенство сторон KN и LM. Для этого заметим, что треугольники KNP и LMP подобны, поскольку оба перпендикулярны стороне CN.
Из подобия треугольников KNP и LMP следует, что отношение длин сторон KN и LM равно отношению длин сторон KP и LP.
Но так как K и L – середины сторон AD и BC, то KP = LP, следовательно, KN = LM.
Таким образом, мы доказали, что стороны KN и LM параллельны и равны.
Итак, мы показали, что четырехугольник KMNL – параллелограмм.