Возьмем точку F на стороне BC и проведем прямую, параллельную основаниям трапеции, через точки O и F. Обозначим точку пересечения этой прямой с продолжением стороны AB через G.
По условию, AM = MC, поэтому точка M является серединой отрезка AC. Тогда по свойству серединного перпендикуляра прямая GD будет перпендикулярна стороне AB и проходить через ее середину.
Также, по условию, AO : OM = 2 : 1. То есть, отношение длин отрезков AO и OM равно 2 : 1. Это означает, что точка O делит отрезок AM в отношении 2 : 1, причем AO является двумя третями AM, а OM – одной третьей.
Из этого следует, что отрезок GM также делится точкой O в отношении 2 : 1. Значит, отрезок AO параллелен отрезку GF и в два раза длиннее.
Обозначим точку пересечения отрезков AE и GF через H. Поскольку точки A, G и M лежат на одной прямой, а AG делит GM в отношении 2 : 1, то точка H также является серединой отрезка GE.
Таким образом, мы получили, что точка H является серединой стороны GE, а точка G – серединой стороны BC. Значит, отрезок AE параллелен стороне BC и равен ей в половину.
Таким образом, отрезок AE равен средней линии трапеции ABCD.