В треугольнике  M N K MNK провели прямую, параллельную стороне  M K MK так, что она пересекает стороны  M N MN и  K N KN в точках  S S и  R R соответственно. Найди длину стороны  K N KN, если  S N = 42 SN=42,  N R = 37 NR=37,  M N = 75 , 6 MN=75,6.

Обозначим длину стороны KN через x.

Так как прямая, проведенная параллельно стороне MK, пересекает стороны MN и KN, то по теореме Талеса получаем два уравнения:

MS / SN = MK / KN (1)

KR / RN = MK / KN (2)

Известны значения SN, RN и MN, подставим их в уравнения:

MS / 42 = MK / x (3)

KR / 37 = MK / x (4)

Перепишем уравнения (3) и (4) в виде:

x = MK * 42 / MS (5)

x = MK * 37 / KR (6)

Поскольку MN = MS + SN, то MS = MN – SN = 75,6 – 42 = 33,6. Подставим это значение в уравнение (5):

x = MK * 42 / 33,6 (7)

Аналогично, KR = KN – RN = x – 37. Подставим это значение в уравнение (6):

x = MK * 37 / (x – 37) (8)

Решим уравнения (7) и (8) относительно x:

MK * 42 / 33,6 = MK * 37 / (x – 37) (9)

Упростим уравнение (9):

42 * (x – 37) = 37 * 33,6

42x – 1554 = 1231,2

42x = 2785,2

x ≈ 66,31

Таким образом, длина стороны KN примерно равна 66,31.