Для решения задачи воспользуемся следующими свойствами:
1. Медиана треугольника делит ее на две равные по площади части.
2. Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона: S = sqrt(p * (p – a) * (p – b) * (p – c)), где p – полупериметр треугольника, a, b, c – длины сторон треугольника.
Для начала найдем сторону AB треугольника ABC, используя теорему косинусов.
cos(C) = (a^2 + b^2 – c^2) / (2 * a * b), где С – угол противолежащий стороне AB
cos(135) = (12^2 + 20^2 – AB^2) / (2 * 12 * 20)
cos(135) = (144 + 400 – AB^2) / 480
AB^2 = 544 – 240 * cos(135)
AB = sqrt(544 – 240 * cos(135))
AB ≈ 15.8
Теперь найдем площадь треугольника ABC, используя формулу Герона.
p = (AB + BC + AC) / 2 = (15.8 + 20 + 12) / 2 = 23.4
S_ABC = sqrt(23.4 * (23.4 – 15.8) * (23.4 – 20) * (23.4 – 12))
Далее найдем площадь треугольника ABE, который разделен медианой CK.
Площадь треугольника ABE равна половине площади треугольника ABC.
S_ABE = S_ABC / 2
Найдем длину медианы CK, используя следующее свойство:
CK = (2/3) * MK, где MK – медиана, делящая сторону AB на отрезки AM и MB в отношении 2:1.
MK = AB / 2 = 15.8 / 2 = 7.9
CK = (2/3) * 7.9 ≈ 5.27
Теперь найдем площадь четырехугольника ADKE.
S_ADKE = S_ABE – S_ADK = S_ABE – S_CDK
Площадь четырехугольника ADKE равна площади треугольника ABE, минус сумма площадей треугольников ADK и CDK.
Треугольник ADK может быть вычислен, зная его стороны AK, DK и угол между ними.
AK = CK = 5.27
DK = (CK^2 + CD^2 – 2 * CK * CD * cos(ACD))^(1/2), где ACD – угол между сторонами AK и DK
cos(ACD) = (AK^2 + CD^2 – DK^2) / (2 * AK * CD)
cos(ACD) = (5.27^2 + 20^2 – 7.9^2) / (2 * 5.27 * 20)
cos(ACD) ≈ -0.386
DK = (5.27^2 + 20^2 – 2 * 5.27 * 20 * cos(ACD))^(1/2)
DK ≈ 16.66
S_ADK = sqrt(p_ADK * (p_ADK – AK) * (p_ADK – DK) * (p_ADK – AD)), где p_ADK – полупериметр треугольника ADK
p_ADK = (AK + DK + AD) / 2
S_CDK = sqrt(p_CDK * (p_CDK – CD) * (p_CDK – DK) * (p_CDK – CK)), где p_CDK – полупериметр треугольника CDK
p_CDK = (CD + DK + CK) / 2
Пользуясь указанными формулами для площадей, найдем S_ADKE.
Это мое решение. Надеюсь, оно поможет вам решить задачу.