Проведем высоту треугольника из точки O. Обозначим точку пересечения высоты с стороной AB как D. Так как O – центр треугольника, то OD будет радиусом окружности, описанной около треугольника АВС.
Заметим, что ОК – высота треугольника AOК, а значит, прямоугольный треугольник АОK подобен треугольнику АВС. Так как ОК=8 и OD=RA, где RA – радиус окружности, описанной около треугольника АВС, то соотношение подобия будет следующим:
8/RD=RD/RA, откуда RD^2=RA*8.
Далее, вспомним, что в прямоугольном треугольнике АОК по теореме Пифагора выполняется соотношение AK^2+ОК^2=АО^2. Подставим AK=BC/2=3 и ОК=8 и решим уравнение относительно АО^2:
9+64= АO^2,
AO=sqrt(73).
Далее, воспользуемся формулой для площади треугольника через радиус окружности, описанной вокруг треугольника:
S=(AB*BC*CA)/(4*RA), где RA=sqrt(73).
Подставим значения сторон треугольника:
S=(6*RA^2)/(4*RA)=3*RA/2.
Подставим RA=sqrt(73):
S=3*sqrt(73)/2.
Ответ: площадь треугольника АВС равна 3*sqrt(73)/2.