В треугольнике АВС точка М – середина стороны АС, а точка Т делит сторону АВ в отношении 2:3, считая от точки А. Точка К делит сторону ВС в отношении 3:5, считая от В. Найдите отношение площадей треугольников МТК и АВС.

Пусть сторона АС равна 2x и сторона АВ равна 5x. Тогда сторона ВС равна 3x.
Так как точка M – середина стороны АС, то сторона МС равна x.
Также, так как точка Т делит сторону АВ в отношении 2:3, то сторона ТА равна (2/5)*5x = 2x, а сторона ТВ равна (3/5)*5x = 3x.
Аналогично, так как точка К делит сторону ВС в отношении 3:5, сторона КВ равна (3/8)*3x = 9x/8, а сторона КС равна (5/8)*3x = 15x/8.
Площадь треугольника АВС можно вычислить по формуле Герона: S(АВС) = sqrt(p*(p-AB)*(p-AC)*(p-BC)), где p = (AB+AC+BC)/2.
Здесь AB = 5x, AC = 2x и BC = 3x.
p = (5x + 2x + 3x)/2 = 5x.
S(АВС) = sqrt(5x*(5x-5x)*(5x-2x)*(5x-3x)) = sqrt(5x*3x*2x) = sqrt(30x^3).
Площадь треугольника МТК можно вычислить также по формуле Герона: S(МТК) = sqrt(p’*(p’-МТ)*(p’-ТК)*(p’-КМ)), где p’ = (МТ+ТК+КМ)/2.
Здесь МТ = 2x, ТК = 9x/8 и КМ = 15x/8.
p’ = (2x + 9x/8 + 15x/8)/2 = 17x/4.
S(МТК) = sqrt((17x/4)*(17x/4-2x)*(17x/4-9x/8)*(17x/4-15x/8)) = sqrt((17x/4)*(9x/4)*(7x/4)*(x/8)) = sqrt(1323x^5/1024).
Теперь найдем отношение площадей S(МТК)/S(АВС):
S(МТК)/S(АВС) = sqrt(1323x^5/1024)/sqrt(30x^3).
Чтобы упростить данное выражение, продолжим следующим образом: sqrt(1323x^5/1024)/sqrt(30x^3) = sqrt(1323x^5*1024)/(sqrt(30x^3)*sqrt(1024)) = sqrt(1351392x^5)/(32x^(3/2)).
Итак, отношение площадей треугольников МТК и АВС равно sqrt(1351392x^5)/(32x^(3/2)).
Таким образом, окончательный ответ будет sqrt(1351392x^5)/(32x^(3/2)).