На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для доказательства равенства САД = 2 × ВАД воспользуемся знаниями о треугольниках и их свойствах.
Шаг 1: Рассмотрим треугольники АВД и САД. Они имеют общую сторону АД.
Шаг 2: У этих треугольников общий угол А. Также известно, что угол ВАД равен углу САД, так как это вертикальные углы.
Шаг 3: Уголы треугольников АВД и САД равны по теореме об углах внутри треугольника, и они соответственно равны 70 градусов и 70 градусов (углы ВАД и САД).
Шаг 4: Рассмотрим треугольник САВ. У него углы В и С известны – они равны 110 градусам и 50 градусам соответственно.
Шаг 5: Когда в треугольнике известны два угла, третий угол может быть найден путем вычисления суммы углов треугольника, равной 180 градусам.
Угол А = 180 – (110 + 50) = 20 градусов.
Шаг 6: Таким образом, углы треугольника АВС равны 20 градусов, 110 градусов и 50 градусов, что означает, что треугольник является неравнобедренным.
Шаг 7: Рассмотрим треугольник САД. У него углы С, А и ВАД равны 50 градусам, 20 градусам и 70 градусам соответственно.
Шаг 8: Для доказательства равенства САД = 2 × ВАД воспользуемся теоремой синусов. По этой теореме отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих углов одинаково для всех трех пар сторон и углов.
Шаг 9: Рассмотрим отношение сторон СА и ВА к синусам углов А и ВАД соответственно:
(СА / sin A) = (ВА / sin ВАД).
Шаг 10: Подставим известные значения:
(СА / sin 20) = (ВА / sin 70).
Шаг 11: Разделим обе части выражения на sin 20:
СА = (ВА / sin 70) × sin 20.
Шаг 12: Согласно теореме синусов sin 70 = sin (90 – 20), что равно cos 20 по формуле синуса комплементарного угла.
Шаг 13: Подставим значение sin 70:
СА = (ВА / cos 20) × sin 20.
Шаг 14: Известно, что cos 2θ = 2cos^2θ – 1. Применим эту формулу:
СА = (ВА / (2cos^2 10 – 1)) × sin 20.
Шаг 15: Упростим выражение:
СА = (ВА / (2cos^2 (20 – 10) – 1)) × sin 20.
СА = (ВА / (2cos^2 10 – 1)) × sin 20.
Шаг 16: Отметим, что cos 10 = sin 80, поскольку sin θ = cos (90 – θ) для любого угла θ.
Шаг 17: Используем это утверждение:
СА = (ВА / (2sin^2 80 – 1)) × sin 20.
Шаг 18: Используем выражение sin 2θ = 2sinθcosθ:
СА = (ВА / (sin 160 – 1)) × sin 20.
Шаг 19: Так как sin 160 = sin (180 – 20) = sin 20:
СА = (ВА / (sin 20 – 1)) × sin 20.
Шаг 20: Разделим обе части выражения на sin 20:
СА / sin 20 = ВА / (sin 20 – 1).
Шаг 21: Умножим обе части выражения на (sin 20 – 1):
СА = (ВА / (sin 20 – 1)) × (sin 20 – 1).
Шаг 22: Упростим выражение:
СА = ВА.
Шаг 23: Таким образом, мы доказали, что САД = 2 × ВАД.
