На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, где AC и BD – взаимно перпендикулярные диагонали. Давайте вспомним формулу для площади треугольника: S = 0.5 * a * b * sin(C), где a и b – длины сторон треугольника, а C – угол между этими сторонами.
Разделим четырехугольник ABCD на два треугольника – ABD и BCD – по их общей диагонали BD. Обозначим угол BCD через theta. Так как диагонали взаимно перпендикулярны, то эти два треугольника будут прямоугольными, с углами в B равными 90 градусам.
Площадь треугольника ABD равна S1 = 0.5 * AB * BD * sin(90 – theta) = 0.5 * AB * BD * cos(theta).
Аналогично для треугольника BCD: S2 = 0.5 * CD * BD * sin(theta) = 0.5 * CD * BD * sin(theta).
Теперь суммируем площади двух треугольников: S1 + S2 = 0.5 * AB * BD * cos(theta) + 0.5 * CD * BD * sin(theta).
Выносим общий множитель за скобки: S1 + S2 = 0.5 * BD * ( AB * cos(theta) + CD * sin(theta)).
Используя тригонометрическое тождество cos(theta) = sin(90 – theta), получаем: S1 + S2 = 0.5 * BD * ( AB * sin(90 – theta) + CD * sin(theta)).
Заметим, что AB * sin(90 – theta) + CD * sin(theta) равно диагонали AC согласно правилу синусов для треугольника ABC: AC = AB * sin(90 – theta) + CD * sin(theta).
Таким образом, S1 + S2 = 0.5 * BD * AC.
Это означает, что площадь четырехугольника ABCD равна половине произведения его диагоналей: S = 0.5 * AC * BD.
