В выпуклый четырехугольник ABCD вписана окружность, так что она касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, Y, X соответственно. Известно, что AM=5 см, BK=7 см, CY=8 см. Найдите чему равны стороны AB и BC этого четырехугольника

Пусть сторона AB равна х, а сторона BC равна у.
Обозначим точку касания окружности с прямой BC через N.

Так как окружность вписана в четырехугольник ABCD, то у каждого угла этого четырехугольника сумма внутренних углов равна 360 градусов. Из этого следует, что угол BAD + угол ADC = 180 градусов.

Также, поскольку M, K, Y и X – точки касания окружности с четырьмя сторонами ABCD, то углы NAM, KBN, YCK и XCD равны. Это означает, что углы BAK, CKY, DCM и AMD тоже равны.

Из свойств окружности следует, что сумма противоположных углов в парах равна 180 градусов.
Таким образом, угол BAD = угол BCD и угол BAK = угол BCK.

Заметим, что треугольник BAK – прямоугольный, так как вертикальные углы BAK и MAD равны, и касательная AM перпендикулярна радиусу окружности.
Очевидно, что угол ABK = 90 – угол AKB.
Учитывая, что угол BAK = угол BCK, получаем, что угол BCD = 180 – 2 * угол BAK.

Теперь можем записать уравнение для суммы углов BCD и BAD:
180 – 2 * угол BAK + угол BCD = 180.

Учитывая равенство углов BAK и BCD, можем записать:
180 – 2 * угол BCD + угол BCD = 180.

Упрощая, получаем:
-угол BCD = 0.

Отсюда следует, что угол BCD = 0 градусов, что означает, что угол BCD – это прямой угол. То есть сторона AD является диаметром вписанной окружности.

Таким образом, D является серединной точкой стороны BC, и BD = DC/2.
Из известных данных известно, что CY = 8 см.
Учитывая свойства вычетов и дополнений, получаем:
CK = BC – CY = у – 8.

Мы также знаем, что BK = 7 см.
Таким образом, у – 8 = 7.
Решая это уравнение, получаем, что у = 15 см.

Теперь мы можем рассчитать сторону AB, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике BAK:
х^2 + 5^2 = 7^2.
Решая это уравнение, получаем, что х = 4 см.

Таким образом, сторона AB равна 4 см, а сторона BC равна 15 см.