Четырехугольник ABCD является параллелограммом, если противоположные его стороны параллельны и равны по длине.
1. Найдем координаты векторов AB и CD:
AB = (x2 – x1, y2 – y1) = (8 – 1, 0 – (-3)) = (7, 3)
CD = (x2 – x1, y2 – y1) = (-3 – 4, 5 – 8) = (-7, -3)
2. Проверим, что AB || CD:
Если векторы AB и CD коллинеарны, то они параллельны.
Для этого проверим, равны ли их пропорции:
ABx/CDx = 7/-7 = -1
ABy/CDy = 3/-3 = -1
Пропорции равны, значит, AB || CD.
3. Найдем координаты векторов BC и AD:
BC = (x2 – x1, y2 – y1) = (4 – 8, 8 – 0) = (-4, 8)
AD = (x2 – x1, y2 – y1) = (-3 – 1, 5 – (-3)) = (-4, 8)
4. Проверим, что BC || AD:
Если векторы BC и AD коллинеарны, то они параллельны.
Для этого проверим, равны ли их пропорции:
BCx/ADx = -4/-4 = 1
BCy/ADy = 8/8 = 1
Пропорции равны, значит, BC || AD.
5. На этом основании мы можем сделать вывод, что стороны AB и CD параллельны, а стороны BC и AD также параллельны.
6. Теперь проверим равенство длин противоположных сторон.
AB = sqrt((7^2) + (3^2)) = sqrt(49 + 9) = sqrt(58)
CD = sqrt((-7)^2 + (-3)^2) = sqrt(49 + 9) = sqrt(58)
BC = sqrt((-4)^2 + 8^2) = sqrt(16 + 64) = sqrt(80)
AD = sqrt((-4)^2 + 8^2) = sqrt(16 + 64) = sqrt(80)
7. Таким образом, имеем AB = CD и BC = AD, что означает, что противоположные стороны параллельны и равны по длине.
8. Значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.