а) Площадь основания АВС можно найти, используя формулу площади треугольника по координатам его вершин. Векторным произведением векторов AB и AC найдем вектор нормали к плоскости ABC. Длина этого вектора будет равна удвоенной площади треугольника ABC.
б) Чтобы найти уравнение высоты из вершины D на основание АВС, нужно найти направляющий вектор этой высоты. Проведём вектор H, соединяющий вершины A и D. Найдём единичный вектор нормали к плоскости ABC. Он перпендикулярен плоскости ABC и, следовательно, будет сонаправлен с направлением высоты из вершины D на основание АВС. Уравнение этого вектора с указанием точки D будет давать нам уравнение этих высот.
в) Уравнение плоскости, проходящей через вершину D параллельно основанию АВС, будет иметь такую же векторную нормаль, как и у плоскости ABC. Используя эту нормаль и координаты точки D, можно получить уравнение плоскости.
г) Уравнение плоскости, проходящей через ребро BD перпендикулярно основанию АВС, будет иметь направляющий вектор BD и нормаль к плоскости АВС. Учитывая это, можно получить уравнение плоскости.
д) Расстояние от вершины А до основания ВСD можно найти, используя формулу для расстояния между точкой и плоскостью.
е) Длину ребра ВD можно найти, используя формулу для длины вектора, соединяющего две точки.
ж) Объем пирамиды ABCD равен одной шестой части объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AD и AC.
з) Угол между гранями АВС и BDC можно найти, используя формулу для косинуса угла между двумя плоскостями.
Решение задачи будет состоять из подсчетов векторов, вычисления длин, нахождения векторных и скалярных произведений, использования формул и применения базовых свойств векторов и плоскостей.