Для решения задачи нам необходимо найти длины сторон треугольника и координаты вектора ВМ.
1. Найдем длины сторон треугольника АВС с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
a = √((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2 + (z2 – z1)^2),
где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) – координаты концов стороны.
Для стороны АВ:
AB = √((0 – 2)^2 + (4 – 8)^2 + (5 – (-2))^2) = √((-2)^2 + (-4)^2 + 7^2) = √(4 + 16 + 49) = √69.
Для стороны ВС:
BC = √((-2 – 0)^2 + (-2 – 4)^2 + (4 – 5)^2) = √((-2)^2 + (-6)^2 + (-1)^2) = √(4 + 36 + 1) = √41.
Для стороны СА:
CA = √((2 – (-2))^2 + (8 – (-2))^2 + (-2 – 4)^2) = √((2 + 2)^2 + (8 + 2)^2 + (-2 – 4)^2) = √(16 + 100 + 36) = √152.
2. Найдем периметр треугольника АВС, сложив длины всех его сторон:
Периметр P = AB + BC + CA = √69 + √41 + √152.
3. Найдем координаты вектора ВМ, где М – середина стороны АВ.
Координаты середины стороны АВ можно найти, усреднив координаты точек A и B:
M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2) = ((2 + 0)/2, (8 + 4)/2, (-2 + 5)/2) = (1, 6, 1).
Тогда вектор ВМ будет равен разности координат точек M и B:
ВМ = (1 – 0, 6 – 4, 1 – 5) = (1, 2, -4).
Таким образом, периметр треугольника АВС равен √69 + √41 + √152, а координаты вектора ВМ равны (1, 2, -4).