Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:5. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 7√2.

Обозначим радиус окружности как R.

Предположим, что сторона треугольника, которая соответствует дуге с наименьшей длиной, равна 7√2. Обозначим эту сторону как a.

Длины дуг окружности, обозначаемые как x, y и z, соответствуют отношению 3:4:5. Таким образом, мы можем записать следующие соотношения:
x = (3/12) * 2 * Пи * R
y = (4/12) * 2 * Пи * R
z = (5/12) * 2 * Пи * R

Теперь нам нужно найти R. Мы знаем, что a соответствует x, поэтому мы можем записать:
a = (3/12) * 2 * Пи * R
7√2 = (3/12) * 2 * Пи * R

Теперь решим это уравнение относительно R:
R = (7√2 * 12) / (3 * 2 * Пи)
R = (7 * √2 * 2) / Пи
R = (14√2) / Пи

Таким образом, радиус окружности равен (14√2) / Пи.