1. Для доказательства того, что сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, C и N является трапецией, нужно выяснить, как построено сечение и какие углы образуют его стороны.
Построим плоскость, проходящую через точки A, C и N. Найдем середину ребра AB и обозначим её как E. Получим, что AE и EN — медианы треугольника АB1B, а значит, пересечение их точки N будет являться его центроидом. Так как медианы треугольника делят его на шесть равных треугольников, AE даст нам равные отрезки NE, (поэтому точки C и N равноудалены от плоскости ABC, проходящей через точки A и E).
Далее, пересекая плоскость ABC с параллепипедом по полученной плоскости ACMEN, мы получим сечение, которое будет являться пересечением параллелограмма MCN с прямоугольником ABCD. Параллелограмм MCN получается как проекция параллелограмма ABCD на плоскость ABC.
Известно, что все грани параллелепипеда — равноплечие ромбы, поэтому стороны параллелограмма ABCD и MCN параллельны, а значит, MCN является параллелограммом. Параллелограмм, в котором угол между сторонами 120°, представляет собой трапецию (поскольку одна пара сторон параллельна другой и другая пара сторон не параллельна их, а углы не равны).
Таким образом, сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, C и N, является трапецией.
2. Чтобы найти стороны трапеции, нам нужно знать значения m и длину ребра AB.
По условию, все грани параллелепипеда — равные ромбы, а угол B равен 120°. Зная, что B является углом ромба, мы можем найти другие углы ромба с помощью свойств ромба. У равностороннего треугольника угол между сторонами равен 60°, поэтому угол ACR равен 60°.
Так как сторона AD параллельна стороне BC, углы между ними равны: 180° – 60° = 120°.
Таким образом, у нас есть трапеция со сторонами AB и CD, между которыми угол 120°. Однако, нам не даны значения длины ребра AB или стороны ромба m, поэтому мы не можем найти точные значения сторон трапеции без дополнительной информации.