Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическими свойствами и формулами:
1. Замена тригонометрических функций:
– tg261° = tg(180° + 81°) = -tg81° (так как tg(180° + α) = -tgα для любого угла α)
– sin569° = sin(360° + 209°) = sin209° (так как sin(360° + α) = sinα для любого угла α)
– cos299° = cos(360° – 61°) = cos61° (так как cos(360° – α) = cosα для любого угла α)
2. Подставим значения тригонометрических функций в выражение и произведем вычисления:
(1 + tg81°) · sin209° · cos61°
3. Замена тригонометрической функции:
– tg81° = sin81° / cos81° (так как tgα = sinα / cosα)
– sin209° = sin(180° + 29°) = -sin29° (так как sin(180° + α) = -sinα для любого угла α)
– cos61° = cos(90° – 29°) = sin29° (так как cos(90° – α) = sinα для любого угла α)
4. Подставим новые значения тригонометрических функций в выражение и выполним вычисления:
(1 + sin81° / cos81°) · (-sin29°) · sin29°
5. Перейдем к одной тригонометрической функции:
(cos81° + sin81°) · (-sin29°) · sin29°
6. Выполним умножение и сложение в скобках:
-cos81°·sin29°·sin29° – sin81°·sin29°·sin29°
7. Упростим выражение:
-cos81°·sin^2(29°) – sin81°·sin^2(29°)
8. Замена тригонометрической функции:
-cos81°·(1 – cos^2(29°)) – sin81°·(1 – cos^2(29°))
9. Раскроем скобки и выполним умножение:
-cos81° + cos^3(29°) – sin81° + sin81°·cos^2(29°)
10. Замена тригонометрической функции:
-cos81° + cos^3(29°) – sin81° + sin81°·(1 – sin^2(29°))
11. Раскроем скобки и выполним умножение:
-cos81° + cos^3(29°) – sin81° + sin81° – sin81°·sin^2(29°)
12. Замена тригонометрической функции:
-cos81° + cos^3(29°) – sin81° + sin81° – sin81°·(1 – cos^2(29°))
13. Раскроем скобки и выполним умножение:
-cos81° + cos^3(29°) – sin81° + sin81° – sin81° + sin81°·cos^2(29°))
14. Упростим выражение:
-cos81° + cos^3(29°) + sin81°·cos^2(29°)
Таким образом, значение выражения (1 + tg261°) · sin569° · cos299° равно -cos81° + cos^3(29°) + sin81°·cos^2(29°)