Для вычисления максимального объёма цилиндра с заданной полной поверхностью воспользуемся следующими шагами:
1. Найдем радиус и высоту цилиндра. Для этого воспользуемся формулами для полной поверхности цилиндра:
Полная поверхность цилиндра = 2πr(r + h), где r – радиус цилиндра, h – его высота.
2. Из уравнения полной поверхности найдем высоту цилиндра h:
2 2,5 = 2πr(r + h)
1,25 = πr(r + h)
3. Разрешим уравнение относительно h:
h = 1,25/πr – r
4. Найдем объем цилиндра, используя формулу:
V = πr²h
5. Подставим в формулу значение h из уравнения:
V = πr²(1,25/πr – r)
6. Упростим выражение:
V = 1,25r – πr³
7. Чтобы найти максимальный объем цилиндра, возьмем производную от V по r и приравняем к нулю:
dV/dr = 1,25 – 3πr² = 0
8. Решим полученное уравнение:
3πr² = 1,25
r² = 1,25/3π
r ≈ 0,283 (округлим до тысячных)
9. Найдем высоту цилиндра по формуле h = 1,25/πr – r:
h ≈ 0,25
10. Наконец, вычислим максимальный объем цилиндра:
V = πr²h ≈ 0,316 (округлим до сотых)
Таким образом, максимальный объём цилиндра, при заданной полной поверхности, округленный до десятых сантиметра, равен 0,32 см³.