Для решения этой задачи сначала найдем уравнение эллипса, заданного условием “x2+5y2=20”. Раскроем скобки в этом уравнении:
x^2 + 5y^2 = 20
Теперь выполним несколько алгебраических преобразований, чтобы выразить y через x:
5y^2 = 20 – x^2
y^2 = (20 – x^2)/5
y = ± sqrt((20 – x^2)/5)
Получили два уравнения, описывающих положение вертикальных сторон четырехугольника.
Теперь найдем координаты точек пересечения эллипса с осями координат. Подставим x = 0 в уравнение эллипса:
0^2 + 5y^2 = 20
5y^2 = 20
y^2 = 4
y = ±2
Значит, вертикальные стороны четырехугольника проходят через точки (0, 2) и (0, -2).
Аналогично, если подставим y = 0, то получим x = ±2. Значит, горизонтальные стороны четырехугольника проходят через точки (-2, 0) и (2, 0).
Теперь можем построить график эллипса и четырехугольника, соединяющего вершины фокусов эллипса.
Для вычисления площади четырехугольника разделим его на два треугольника. Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу Герона:
S = sqrt(p(p – a)(p – b)(p – c))
где S – площадь треугольника, p – полупериметр треугольника, а, b, c – длины его сторон.
Вычислим площадь первого треугольника:
a = 2, b = 2, c = sqrt(2^2 + 2^2) = sqrt(8)
p = (2 + 2 + sqrt(8))/2 = (4 + sqrt(8))/2 = 2 + sqrt(2)
S1 = sqrt((2 + sqrt(2))(2 + sqrt(2) – 2)(2 + sqrt(2) – 2)(2 + sqrt(2) – sqrt(8)))
Вычислим площадь второго треугольника:
a = sqrt(2^2 + 2^2) = sqrt(8), b = 2, c = 2
p = (sqrt(8) + 2 + 2)/2 = (sqrt(8) + 4)/2 = 2 + sqrt(2)
S2 = sqrt((2 + sqrt(2))(2 + sqrt(2) – sqrt(8))(2 + sqrt(2) – 2)(2 + sqrt(2) – 2))
Тогда площадь всего четырехугольника равна S = S1 + S2.
Подставим значения в формулу и вычислим площадь четырехугольника.