Для вычисления скалярного произведения векторов a и b мы используем формулу:
a · b = |a| |b| cos(θ),
где |a| и |b| – длины векторов a и b соответственно, а θ – угол между ними.
Для начала, найдём длины векторов a и b. Поскольку p и q – единичные векторы, длина каждого из них равна 1.
|a| = |3p – 5q| = |3| * |p| + |-5| * |q| = 3 * 1 + 5 * 1 = 8,
|b| = |2p + 6q| = |2| * |p| + |6| * |q| = 2 * 1 + 6 * 1 = 8.
Теперь найдём косинус угла между векторами a и b:
cos(θ) = (a · b) / (|a| |b|).
Так как нам не даны значения угла θ, мы не можем его вычислить, но можем найти значение косинуса угла.
(a · b) = (3p – 5q) · (2p + 6q)
= 3p · 2p + 3p · 6q – 5q · 2p – 5q · 6q
= 6p² + 18p · q – 10p · q – 30q²
= 6p² + 8p · q – 30q².
Так как p и q – единичные взаимно перпендикулярные векторы, их скалярное произведение равно нулю:
p · q = 0.
Следовательно, (a · b) = 6p² – 30q².
Теперь мы можем вычислить скалярное произведение:
(a · b) = (6p² – 30q²) / (|a| |b|)
= (6p² – 30q²) / (8 * 8)
= (6/64)p² – (30/64)q².
Таким образом, скалярное произведение векторов a и b равно:
(a · b) = (6/64)p² – (30/64)q².